Fonksiyon Konu Özeti

A ve B boş olmayan iki küme olmak üzere, A nın her elemanını B nin bir ve yalnız bir elemanı ile eşleyen bağıntıya fonksiyon denir. Bu yüzden fonksiyonların iyi anlaşılması için bağıntı konusunun iyi öğrenilmesi gerekir. 

x ∈ A ve y ∈ B olmak üzere A'dan B'ye bir fonksiyon f ise:

f : A → B, A →f B, x → y = f(x) biçiminde gösterilir.

 A kümesine f fonksiyonunun tanım kümesi B kümesine de f fonksiyonunun değer kümesi denir.

A tanım kümesinin tüm elemanlarının görüntülerinin oluşturduğu kümeye görüntü kümesi denir ve f(A) ile gösterilir.

Tanıma göre, A dan B ye bir bağıntının fonksiyon olabilmesi için:

1. A tanım kümesindeki hiç bir elemanın boşta kalmaması
2. A tanım kümesindeki her elemanın B değer kümesinde yalnız bir görüntüsünün olması gerekir.

Fonksiyon Türleri

İçine Fonksiyon

f : A → B fonksiyonunda

f(A) ⊂ B ise f fonksiyonuna içine fonksiyon denir. (Yani B değer kümesinde açıkta eleman varsa buna içine fonksiyon denir.)

Örten Fonksiyon

f : A → B fonksiyonunda f(A) = B ise f fonksiyonuna örten fonksiyon denir.

Birebir Fonksiyon

 f : A → B bir foA tanım kümesinin farklı elemanlarının görüntüleri daima ise, yani A nın farklı elemanları B nin farklı elemanlarıyla eşleniyorsa, f fonksiyonuna bire-bir (1 - 1) fonksiyon denir.

f : A → B fonksiyonunda

1. " x1, x2 ∈ A için x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2)  ya da
2. " x1, x2 ∈ A için  f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2 önermelerinden biri doğru is f fonksiyonu bire-bir dir.

Sabit Fonksiyon

f : A → B fonksiyonunda A tanım kümesinin her elemanı B değer kümesinde aynı elemanla eşleşiyorsa, diğer bir deyişle A tanım kümesindeki bütün elemanlarının görüntüleri aynı ise f fonksiyonu sabit fonksiyondur

Hatırlatma:

f : R → R ve h : R → R fonksiyonlarının grafikleri x-eksenine paralel birer doğru ve g : Z → Z fonksiyonunun grafiğinde; yine x-eksenine paralel hayali bir doğru üzerindeki noktalardan oluşur.

Birim Fonksiyon

f : A → B fonksiyonunda A nın her elemanının görüntüsü yine kendisi oluyorsa, yani "x ∈ A için f(x) = x ise f fonksiyonuna birim fonksiyon denir ve IA yada I ile gösterilir.

Hatırlatma:

I : R → R, f(x) = x birim fonksiyonunun grafiği birinci açıortay doğrusudur.

Eşit Fonksiyonlar

I : A → A, g : A → B fonksiyonları verilmiş olsun.

"x ∈ A için f(x) = g(x) ise f ve g fonksiyonlara eşit fonksiyonlar denir ve f = g şeklinde gösterilir.

Tek ve Çift Fonksiyonlar

 f : R → R, y = f(x) fonksiyonunda, 

1. "x ∈ R için f(-x) = f(x) ise f e çift fonksiyon denir.
2. "x ∈ R için f(-x) = -f(x) ise f e tek fonksiyon denir.

Fonksiyonların Toplamı, Farkı, Çarpımı ve Bölümü

f : A → R, g : B → R fonksiyonları için:

A ∩ B ≠ ∅ olsun.

1. f + g : A ∩ B → R; (f + g)(x) = f(x) + g(x) fonksiyonuna f ile g'nin toplamı denir.
2. f - g : A ∩ B → R; (f - g)(x) = f(x) - g(x) fonksiyonuna f ile g'nin farkı denir.
3. f . g : A ∩ B → R; (f . g)(x) = f(x) . g(x) fonksiyonuna f ile g'nin çarpımı denir.
4. g(x) ≠ 0, f / g : A ∩ B → R; (f / g)(x) = f(x) / g(x) fonksiyonuna f'nin g'ye bölümü denir.
5. k ∈ R olmak üzere ; k . f : A → R (k.f)(x) = k . f(x) fonksiyonuna k ile f'nin çarpımı denir.

Bir Fonksiyonun Tersi

f : A → B, y = f(x) fonksiyonu verilmiş olsun.

f-1 : B → A, x = f-1(y) bağıntısına, (B den A ya olan bağıntıya) f nin ters fonksiyonu denir.

• f : A → B fonksiyonu bire-bir ve örten ise; f nin tersi olan f-1 : B → A bağıntısı da fonksiyondur.
• f : A → B fonksiyonu bire-bir ve örten fonksiyon ise; f nin tersi olan f-1 : B → A bağıntısı da bire-bir ve örten fonksiyondur.
•  f fonksiyonu bire-bir ve örten değilse; f-1 bağıntısı fonksiyon değildir.

Bileşke Fonksiyon

 f : A → B,                 y = f(x)

g : B → C,                z = g(y) olmak üzere

gof : A → C,

(gof)(x) = g(f(x)) fonksiyonuna f ile g'nin bileşke fonksiyonu denir ve gof diye yazılır. (gof : Yazılışı g bileşke f diye okunur. )

Bileşke İşleminin Özellikleri:

• Bileşke işleminin değişme özelliği yoktur. fog ≠ gof
• Bileşke işleminin değişme özelliği vardır. fo(goh) = (fog)oh
• I birim fonksiyon olmak üzere, foI = lof = f dir.
• fof-1 = f-1of = I dir.
• (fog)-1 = g-1of-1 dir.
• (f-1)-1 = f dir.

Permütasyon Fonksiyon

A sonlu bir küme olmak üzere f : A → A fonksiyonu bire-bir ve örten ise f fonksiyonuna A'nın bir permütasyonu denir.

Hatırlatma:

s(A) = n ise A nın permütasyonlarının sayısı n! kadardır.

A dan B ye Bağıntı ve Fonksiyon Sayıları

 f : A → B fonksiyonunda

s(A) = m, s(B) = n ise;

1. A dan B ye tanımlı fonksiyonların sayısı nm dir. 
2. Bire-bir fonksiyonların sayısı n ≥ m olmak üzere P(n, m) = n! / (n - m)! dir.
3. Sabit fonksiyonların sayısı n dir.
4. A da tanımlanabilecek bire-bir ve örten fonksiyonların sayısı P(m, m) = m! dir.
5. A kümesinde tanımlı bire-bir ve örten olmayan fonksiyonların sayısı mm - m! dir.
6. A dan B ye fonksiyon olmayan bağıntıların sayısı 2m.n - nm dir.

Fonksiyonlar Kısaca

Fonksiyon kavramı matematik ders programları içerisinde oldukça önemli bir yere sahiptir. İlköğretimden üniversiteye kadar matematik ders programlarında bu kavrama rastlamak mümkündür. İlköğretim düzeyinde toplama gibi temel aritmetiksel işlemlerin fonksiyon düşüncesini içerdiği söylenebilir; çünkü toplam operatörü IR’den aldığı iki elemanı işleme tabi tuttuktan sonra yine IR’de bir elemana eşlemektedir. Benzer şekilde simetri kavramı fonksiyon düşüncesini içermektedir; çünkü simetri ekseni bir fonksiyon gibi dönüştürme yapar ve bir bölgedeki nesneyi bir başka bölgeye transfer eder. Ortaöğretim düzeyinde fonksiyonlar özel bir konu olarak okutulmakta ve fonksiyon kavramı ‘iki kümenin elemanları arasında eşleme yapan bir bağıntı’, ‘Kartezyen çarpımın bir alt kümesi’, ve ‘iki değişken arasındaki ilişki’ biçiminde farklı şekillerde tanımlanmaktadır. İleri düzey matematik konuları olan integral ve türev kavramlarının öğretimi tamamen fonksiyonlar üzerinde bina edilmiş bulunmaktadır. Topolojik uzayların homeomorfik yapılarının incelenmesinde de fonksiyon düşüncesi aktif olarak kullanılmaktadır. Diğer birçok matematiksel düşünceyle olan yakın ilişkisi dolayısıyla fonksiyon kavramının matematik öğretiminde birleştirici bir düşünce tarzı olarak kullanılması önerilmektedir. Alan yazın taramasından oluşan bu makalenin amacı fonksiyon kavramının epistemolojisi, günümüz modern matematik ders kitaplarında yer aldığı şekliyle kavramın matematiksel doğası ve algı türlerinin incelenmesini içermektedir. Bunun yanı sıra, eldeki makalede fonksiyon kavramının zihinsel gelişimi ve bu süreçte öğrencilerin yaşadıkları zorluklar, kavram yanılgıları ve bunların bilişsel sebepleri öğrenme teorileri ışığında tartışılmaktadır. Son olarak ise, olayın öğretim boyutuna değinilmekte ve sınıf içi öğretimler için pedagojiksel öneriler getirilmektedir.

Leonhard Euler

18.yüzyılın en meşhur matematikçilerinden olan Euler kendisi ile aynı devirde yaşamış olan diğer matematikçiler tarafından “Canlı Analiz” diye adlandırılırdı. Matematik tarihinin en çok eser ortaya koyan en üretken matematikçisi olarak da bilinen Euler’in çalışmalarının tamamı 70 cilde ulaşmış durumdadır.

Birçok yeni kavram geliştirmiş farklı alanlarda uzun süre kabul gören birçok teorem ispatlamıştır. Çalışmaları sırasında günümüz matematik terminolojisini yaratmış, fonksiyon kavramını ve fonksiyonun nasıl yazıldığını tanımlamıştır.